Concepto de integral

La integración es un concepto fundamental del calculo y del analizas matemático. Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.

}El calculo integral, encuadrado en el calculo infitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la ciencia también; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

Sus principales objetivos a estudiar son

}Área de una región plana

}Cambio de variable

}Integrales indefinidas

}Integrales definidas

}Integrales impropias

}Integral de línea

}Integrales múltiples (dobles o triples)

}Integrales trigonométricas, logarítmicas y exponenciales

}Métodos de integración

}Teorema fundamental del cálculo

}Volumen de un sólido de revolución

TEORIA

}Dada una función f(x)  de una variable real x y un intervalo ´{a,b}  de la recta real, la integral

}∫f(x) dx

}es igual al área de la región del plano xy  limitada entre la gráfica de , ƒ el eje ,x y las líneas verticales x =a  y , donde son negativas las áreas por debajo del eje x.

Conceptos y aplicaciones

 }Las integrales aparecen en muchas situaciones prácticas. Considérese una piscina. Si es rectangular y de profundidad uniforme, entonces, a partir de su longitud, anchura y profundidad, se puede determinar fácilmente el volumen de agua que puede contener (para llenarla), el área de la superficie (para cubrirla), y la longitud de su borde (para atarla). Pero si es ovalada con un fondo redondeado, las cantidades anteriores no son sencillas de calcular. Una posibilidad es calcularlas mediante integrales.

 }Para el cálculo integral de áreas se sigue el siguiente razonamiento:

 }1.Inicialmente se puede considerar una curva  y= f¨(x) entre x =0

 }X =1 suponiendo  que  f(x) =

     

 }La respuesta a la pregunta ¿Cuál es el área bajo la función ƒ , en el intervalo desde 0  hasta 1 ? Es que el área coincidirá con la integral de . La notación para esta integral será

Definiciones formales

}Hay muchas maneras de definir formalmente una integral, no todas equivalentes. Se establecen diferencias para poder abordar casos especiales que no pueden ser integrables con otras definiciones, pero también en ocasiones por razones pedagógicas. Las definiciones más utilizadas de la integral son las integrales de Riemann y las integrales de Lebesgue.

Integrales por sustitucion

}El método de integración por sustitución o por cambio de variable se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o antiderivada simple. En muchos casos, donde las integrales no son triviales, se puede llevar a una integral de tabla para encontrar fácilmente su primitiva. Este método realiza lo opuesto a la regla de la cadena en la derivación. Vale la pena resaltar que este método se utiliza cuando no se mira a simple vista su primitiva directa.

}Si U= g(x)  es una función derivable cuyo alcance es un intervalo I y f es continua en I en tal caso:

}∫f(g(x))g`(x)dx

Se puede definir este método en cuatro pasos importantes

}ya sustituido.

}IntegrarIdentificar la función a sustituir, es decir Identificar "u" (Usualmente se cometen mas errores en este paso).

}Determinar el diferencial de "u" ("du").

}Reescribir el integral

consejo

}Intente elegir  U como alguna función en el integrando cuya diferencial también se presente (excepto para un factor constante). Si no es posible, escoja U  como alguna parte complicada del integrando (tal vez la función interna de una función compuesta). Encontrar la sustitución correcta conlleva algo de arte. No es raro que la conjetura sea errónea; si su primera suposición no funciona, intente con otra.