domingo, 7 de abril de 2013

ejemplos por sustitusion

1)


∫ x sin(x) d x
<br />          Usando Integración por partes <br />          u = x , d v = sin(x) d x, <br />          d u = 1 d x, v = -cos(x) . <br />         
= -x cos(x) - ∫ -cos(x) d x= ∫ cos(x) d x - x cos(x)
= sin(x) - x cos(x) + ÷r

2)

∫ log(x) d x

<br />          Usando Integración por partes <br />          u = log(x) , d v = 1 d x, <br />          d u = 1/x d x, v = x . <br />         
= x log(x) - ∫ 1 d x  

<br />          La integral de 1 es x . <br />         
= x log(x) - x + ÷r

<br />          Factor por otra expresión para ver el resultado . <br />         
= x (log(x) - 1) + ÷r


3)
∫ x log(x) d x
<br />          Usando Integración por partes <br />          u = log(x) , d v = x d x, <br />          d u = 1/x d x, v = x^2/2 . <br />         
= 1/2 x^2 log(x) - ∫ x/2 d x

<br />          Factorizando constantess . <br />         
= 1/2 x^2 log(x) - 1/2 ∫ x d x
<br />          La integral de x es x^2/2 . <br />         

= 1/2 x^2 log(x) - x^2/4 + ÷r
= 1/4 x^2 (2 log(x) - 1) + ÷r

4)


∫ x e^x d x

<br />          Usando Integración por partes <br />          u = x , d v = e^x d x, <br />          d u = 1 d x, v = e^x . <br />         

 
= e^x x - ∫ e^x d x
<br />          La integral de e^x es e^x . <br />         
= e^x x - e^x + ÷r
= e^x (x - 1) + ÷r

5)
∫ arcsin(x) d x
<br />          Usando Integración por partes <br />          u = sin^(-1)(x) , d v = 1 d x, <br />          d u = 1/(1 - x^2)^(1/2) d x, v = x . <br />         
= x sin^(-1)(x) - ∫ x/(1 - x^2)^(1/2) d x
<br />          Sustitución <br />          s = 1 - x^2, <br />          d s = -2 x d x . <br />         
= x sin^(-1)(x) + 1/2 ∫ 1/s^(1/2) d s
<br />          La integral de 1/s^(1/2) es 2 s^(1/2) . <br />         
= x sin^(-1)(x) + s^(1/2) + ÷r
<br />          Resustituyendo s = 1 - x^2 . <br />         
= x sin^(-1)(x) + (1 - x^2)^(1/2) + ÷r

6)

∫ arccos(x)^2 d x

<br />          Usando Integración por partes <br />          u = cos^(-1)(x)^2 , d v = 1 d x, <br />          d u = -(2 cos^(-1)(x))/(1 - x^2)^(1/2) d x, v = x . <br />         
= x cos^(-1)(x)^2 - ∫ -(2 x cos^(-1)(x))/(1 - x^2)^(1/2) d x
= x cos^(-1)(x)^2 + 2 ∫ (x cos^(-1)(x))/(1 - x^2)^(1/2) d x
<br />          Usando Integración por partes <br />          u = cos^(-1)(x) , d v = x/(1 - x^2)^(1/2) d x, <br />          d u = -1/(1 - x^2)^(1/2) d x, v = -(1 - x^2)^(1/2) . <br />         
= x cos^(-1)(x)^2 - 2 (1 - x^2)^(1/2) cos^(-1)(x) - 2 ∫ 1 d x
= x cos^(-1)(x)^2 - 2 (1 - x^2)^(1/2) cos^(-1)(x) - 2 x + ÷r

7)
∫ x arctan(x) d x
<br />          Usando Integración por partes <br />          u = tan^(-1)(x) , d v = x d x, <br />          d u = 1/(x^2 + 1) d x, v = x^2/2 . <br />         
= 1/2 x^2 tan^(-1)(x) - ∫ x^2/(2 (x^2 + 1)) d x
= 1/2 x^2 tan^(-1)(x) - 1/2 ∫ x^2/(x^2 + 1) d x
= 1/2 x^2 tan^(-1)(x) - 1/2 ∫ (1 - 1/(x^2 + 1)) d x
= 1/2 tan^(-1)(x) x^2 - 1/2 ∫ 1 d x + 1/2 ∫ 1/(x^2 + 1) d x
<br />          La integral de 1/(x^2 + 1) es tan^(-1)(x) . <br />         

= 1/2 tan^(-1)(x) x^2 + 1/2 tan^(-1)(x) - 1/2 ∫ 1 d x
= 1/2 tan^(-1)(x) x^2 - x/2 + 1/2 tan^(-1)(x) + ÷r

8)
∫ x^3 e^x^2 d x
<br />          Sustitución <br />          s = x^2, <br />          d s = 2 x d x . <br />         
= ∫ (e^s s)/2 d s
= 1/2 ∫ e^s s d s
<br />          Usando Integración por partes <br />          u = s , d v = e^s d s, <br />          d u = 1 d s, v = e^s . <br />         
= (e^s s)/2 - 1/2 ∫ e^s d s
= 1/2 e^x^2 x^2 - e^x^2/2 + ÷r
= 1/2 e^x^2 (x - 1) (x + 1) + ÷r

9)
∫ arccos(x) sqrt(1 - x^2) d x
<br />          Usando Integración por partes <br />          u = cos^(-1)(x) , d v = (1 - x^2)^(1/2) d x, <br />          d u = -1/(1 - x^2)^(1/2) d x, v = 1/2 (1 - x^2)^(1/2) x + 1/2 sin^(-1)(x) . <br />         
= 1/2 sin^(-1)(x) cos^(-1)(x) + 1/2 x (1 - x^2)^(1/2) cos^(-1)(x) - ∫ -(1/2 (1 - x^2)^(1/2) x + 1/2 sin^(-1)(x))/(1 - x^2)^(1/2) d x
= 1/2 sin^(-1)(x) cos^(-1)(x) + 1/2 x (1 - x^2)^(1/2) cos^(-1)(x) + 1/2 ∫ ((1 - x^2)^(1/2) x + sin^(-1)(x))/(1 - x^2)^(1/2) d x
= 1/2 sin^(-1)(x) cos^(-1)(x) + 1/2 x (1 - x^2)^(1/2) cos^(-1)(x) + 1/2 ∫ (x + sin^(-1)(x)/(1 - x^2)^(1/2)) d x

= 1/2 sin^(-1)(x) cos^(-1)(x) + 1/2 x (1 - x^2)^(1/2) cos^(-1)(x) + 1/2 ∫ s d s + 1/2 ∫ x d x
= x^2/4 + 1/2 (1 - x^2)^(1/2) cos^(-1)(x) x + 1/2 cos^(-1)(x) sin^(-1)(x) + 1/2 ∫ s d s
= s^2/4 + x^2/4 + 1/2 x (1 - x^2)^(1/2) cos^(-1)(x) + 1/2 cos^(-1)(x) sin^(-1)(x) + ÷r
= x^2/4 + 1/2 (1 - x^2)^(1/2) cos^(-1)(x) x + 1/4 sin^(-1)(x)^2 + 1/2 cos^(-1)(x) sin^(-1)(x) + ÷r

10)

∫ cos((2 x + 3)^(1/3)) d x
<br />          Sustitución <br />          s = 2 x + 3, <br />          d s = 2 d x . <br />         
= 1/2 ∫ cos(s^(1/3)) d s
<br />          Sustitución <br />          t = s^(1/3), <br />          d t = 1/(3 s^(2/3)) d s . <br />         
= 3/2 ∫ t^2 cos(t) d t

<br />          Usando Integración por partes <br />          u = t^2 , d v = cos(t) d t, <br />          d u = 2 t d t, v = sin(t) . <br />         
= 3/2 t^2 sin(t) - 3/2 ∫ 2 t sin(t) d t
= 3/2 t^2 sin(t) - 3 ∫ t sin(t) d t
<br />          Usando Integración por partes <br />          u = t , d v = sin(t) d t, <br />          d u = 1 d t, v = -cos(t) . <br />         
= 3/2 sin(t) t^2 + 3 cos(t) t + 3 ∫ -cos(t) d t
= 3/2 sin(t) t^2 + 3 cos(t) t - 3 ∫ cos(t) d t
= 3 s^(1/3) cos(s^(1/3)) + 3/2 s^(2/3) sin(s^(1/3)) - 3 sin(s^(1/3)) + ÷r
= 3 (2 x + 3)^(1/3) cos((2 x + 3)^(1/3)) + 3/2 (2 x + 3)^(2/3) sin((2 x + 3)^(1/3)) - 3 sin((2 x + 3)^(1/3)) + ÷r
= 3 (2 x + 3)^(1/3) cos((2 x + 3)^(1/3)) + 3/2 (2 x + 3)^(2/3) sin((2 x + 3)^(1/3)) - 3 sin((2 x + 3)^(1/3)) + ÷r
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